Phân loại tích phân Tích phân

Tích phân Riemann

Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định. Tích phân Riemann xác định của hàm f(x) với x chạy trong khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}

Dạng bất định (không có cận) được viết là:

∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{}^{}f(x)\,dx}

Theo định lý cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều kiện cùng có chung vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int _{}^{}f(x)\,dx=F(x)+C}

Ngày nay biểu thức toán học của tích phân bất định có thể được tính cho nhiều hàm số tự động bằng máy tính. Giá trị số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất định tương ứng không tồn tại.

Định lý cơ bản thứ nhất của giải tích được thể hiện ở đẳng thức sau:

d d x ∫ a b f ( x ) d x = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(x)} và d d x ∫ a b f ( x ) d x = − f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-f(x)}

Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản. Dưới đây là một vài ví dụ:

∫ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{}^{}e^{-x^{2}}\,dx} , ∫ e − x x d x {\displaystyle \int _{}^{}{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx} , ∫ sin ⁡ x x d x {\displaystyle \int _{}^{}{\frac {\sin x}{x}}\,dx} , ∫ cos ⁡ x x d x {\displaystyle \int _{}^{}{\frac {\cos x}{x}}\,dx}

Tích phân Lebesgue

Một hàm f {\displaystyle f} được gọi là một hàm đơn giản nếu tập ảnh của nó là hữu hạn.[2] Gọi các giá trị của tập ảnh là α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}} và đặt A i = { x : f ( x ) = α i } {\displaystyle A_{i}=\{x:f(x)=\alpha _{i}\}} , ta có

f = ∑ i = 1 n α i χ A i {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}

trong đó χ A i {\displaystyle \chi _{A_{i}}} là hàm chỉ thị của tập hợp A i {\displaystyle A_{i}} .

Gọi μ {\displaystyle \mu } là một độ đo không âm trên một không gian độ đo X {\displaystyle X} và f {\displaystyle f} là một hàm đơn giản f : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:X\to [0,\infty )} . Hàm f {\displaystyle f} là đo được khi và chỉ khi các tập hợp A i {\displaystyle A_{i}} là đo được.[2] Tích phân của f {\displaystyle f} theo độ đo μ {\displaystyle \mu } trên một tập con đo được E ⊂ X {\displaystyle E\subset X} được định nghĩa là

∫ E f d μ = ∑ i = 1 n μ ( A i ∩ E ) {\displaystyle \int _{E}fd\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}\cap E)}

Nếu F {\displaystyle F} là một hàm không âm đo được, ta định nghĩa ∫ E F d μ = sup 0 ≤ f  đơn giản  ≤ F ∫ E f d μ {\displaystyle \int _{E}Fd\mu =\sup _{0\leq f{\text{ đơn giản }}\leq F}\int _{E}fd\mu } .[3]

Một hàm F {\displaystyle F} được gọi là khả tích Lebesgue nếu ∫ X | F | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}\vert F\vert d\mu <\infty } . Ký hiệu F + = max { f , 0 } {\displaystyle F^{+}=\max\{f,0\}} và F − = − min { f , 0 } {\displaystyle F^{-}=-\min\{f,0\}} . Đây đều là các hàm không âm. Thế thì tích phần của F {\displaystyle F} là

∫ E F d μ = ∫ E F + d μ − ∫ E F − d μ {\displaystyle \int _{E}Fd\mu =\int _{E}F^{+}d\mu -\int _{E}F^{-}d\mu } [4]

Định lý Lebesgue về sự hội tụ đơn điệu

Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn

Bổ đề Fatou

Bài chi tiết: Bổ đề Fatou

Các loại tích phân khác

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng rộng rãi, còn có một số loại tích phân khác như: